ماتریسهای سختی

انجام پایان نامه

ماتریسهای  سختی دینامیک برای اعضای خطی با جرم توزیع شده

چکیده

تعیین تحلیلی ماتریسهای سختی دینامیکی در حوزه فرکانس برای اعضای سازه ای خطی با جرم توزیع شده یک روش کارآمد و دقیق برای تحلیل دینامیکی قابها فراهم می کند. این فرمول نه تنها محاسبه جرم توزیع شده بلکه محاسبه اثر انتشار موج در هر یک از اعضا را ممکن میسازد. بنابراین یک راه حل مقرون به صرفه تر و دقیق تر نسبت به استفاده از ماتریس جرم فشرده و یا حتی سازگار ارائه میدهد، که به تقسیم عضو به المانهای مختلف برای تکثیر این اثر، به ویژه برای فرکانس های بالا نیاز دارد. این مشکل به تازگی در رابطه با تحلیل لرزه ای سازه (بویژه پایه پل) تحت شتاب عمودی زمین بحث شده است. این امر همیشه در تفسیر تست های غیر مخرب دینامیک بر اساس بارهای ضربه ای و انتشار موج مورد توجه عمده بوده است. در این مقاله ماتریس سختی دینامیکی برای اعضای خطی با فرمولاسیون های مختل÷ف با هم ارائه شده است.

کلید واژه ها: سختی دینامیک ، روش دامنه فرکانس ، فرمولاسیون مداوم

  1. مقدمه

ماتریس سختی دینامیکی در حوزه فرکانس برای عناصر مختلف ممتد خطی با جرم توزیع شده، مانند یک میله، شفت، و تیر و یا تیر ستون، به طور گسترده در طول دهه گذشته بررسی شده است. گاهی اوقات به آنها ماتریس سختی دینامیکی”دقیق”  می گویند. بسیاری از محققان مطالعات مستقلی با استفاده از این ماتریس برای مطالعه مسائل مختلف انجام داده اند که به موضوعات خاص کمک کرده است. به عنوان مثال، فرمول ممتد در ارتباط با تئوری تیر خمشی برای بررسی دقت و صحت جرم فشرده و ماتریس جرم سازگار در پیش بینی فرکانس طبیعی قاب ساده در اوایل سال ۱۹۶۹ توسط لاتونا [۱۱] استفاده شده است. این مطالعات بعدها توسط پاپالئونتیو ادامه یافت [۱۵] که پاسخ قاب های مختلف به ترکیبی از مولفه های زلزله افقی و عمودی با استفاده از جرم فشرده، سازگار و توزیع شده را مقایسه کرد.کتاب کولوسک در سال ۱۹۷۳ [۱۰] در بر دارنده چندین جنبه از راه حل ممتد در هر دو اعضای منشوری و غیر منشوری بود. بانرجی و همکاران. یک مجموعه کامل از ماتریس سختی دینامیکی دقیق  را برای اعضای مخروطی در سال ۱۹۸۵ خلاصه کردند و در دو دهه گذشته یک سری از مطالعات را با استفاده از فرمولاسیون های مرتبط با تئوری های عضو دقیق تر از جمله اثرات جفت به علت چرخش  انجام دادند[۱-۳]. دویل و همکاران تعدادی مقالات در مورد فرمولاسیون سختی دینامیک مستمر برای اعضای مختلف راست و منحنی خطی، و همچنین صفحه دو بعدی و عناصر پوسته ای منتشر کرده اند [۶-۸،۱۲]. چن و همکاران با استفاده از فرمول سختی دینامیک مستمر بر اساس تئوری تیر تیموشنکو [۴،۵] یک مطالعه جامع از پاسخ دینامیکی عضو محوری باربر بر روی یک پایه ویسکوالاستیک انجام دادند. یو و همکاران با استفاده از فرمول مستمر یک سری از مطالعات در مسائل مختلف دینامیک همراه با پاسخ لرزه ای و همچنین تست دینامیک غیر مخرب از عناصر ساختاری انجام  دادند [۱۷-۱۹].

برای اعضای منشوری، راه حل دقیق معمولا می تواند بر اساس توابع نمایی بیان شود و در نتیجه استخراج عناصر ماتریس سختی دینامیکی دقیق آن ساده است. برای اعضای غیر منشوری، راه حل دقیق آن تنها می تواند برای موارد بسیار ساده به دست آمده و به طور معمول به دست آوردن آن برای مدل های پیچیده تر غیر ممکن است. به جای تلاش برای بدست آوردن ماتریس سختی دینامیکی دقیق برای اعضای غیر منشوری، تقریب بر اساس باقیمانده های موزون، مانند روش ریلی- ریتز، می تواند در حوزه فرکانس استفاده شود. این رویکرد اغلب تقریب بهتری از راه حل های سنتی گسسته فراهم می کند. به هر حال در این مقاله ما در اعضای منشوری با فرمولاسیون های مختلف تمرکز خواهیم کرد، ابتدا یک عضو تحت تغییر شکل محوری، سپس عضو تحت پیچش، یک تیر و در نهایت یک شمع تحت بارهای محوری و یا جانبی مدل شده به عنوان یک عضو روی پی  الاستیک، نوع وینکلر  را در نظر میگیریم.

مزیت اصلی استفاده از فرمول سختی دینامیک دقیق در تحلیل دینامیکی سازه آنست که تعداد عناصر مورد استفاده برای مدل هر عضو می تواند بدون به خطر انداختن دقت راه حل به حداقل برسد. این امر به ویژه برای مشکلات دینامیک شامل فرکانس های بالا و یا پدیده های انتشار موج که توسط نویسندگان [۱۹] نشان داده شده درست است. با توجه به این واقعیت که خواص توزیع می تواند به راحتی توسط فرمول مستمر در حوزه فرکانس به حساب آید، این نوع فرمول بویژه برای تحلیل دینامیکی شامل تعامل سازه خاک و تعامل سازه سیال مفید است.

  1. رویکرد کلی برای فرمولاسیون دقیق

مشتق گیری از ماتریس سختی دینامیکی در ارتباط با راه حل مداوم دقیق با استفاده از روش مشابه به دنبال به دست آوردن ماتریس سختی انجام شده است. به طور کلی چهار مرحله داریم که در شکل ۱نشان داده شده است. معادله تعادل حاکم برای یک عضو خطی، معادله عادی دیفرانسیل خطی به توان  ۲m است. اولین گام در ساخت ماتریس سختی دینامیکی به دست آوردن راه حل تحلیلی برای جابه جایی (جواب معادله همگن)  بر اساس ثابت ۲m انتگرال است. به طور معمول راه حل کلی شامل توابع نمایی برای اعضای با مقطع یکنواخت و توابع بسل برای انواع خاصی از اعضای مخروطی است. گام دوم به دست آوردن عبارت جابجایی گره بر اساس ثابت انتگرال است، که منجر به یک ماتریس طیفی وابسته به فرکانس [T1] مرتبط با بردار پایان جابجایی میشود. در مرحله سوم، ماتریس طیفی دیگر [T2] مرتبط با بردار نیروی پایان بدست آمده است. در نهایت، با از بین بردن ثابت انتگرال می توان از طریق ماتریس سختی دینامیکی نیروهای پایانی را به جابجایی پایانی مربوط کرد. محاسبه ماتریس سختی دینامیکی از نقطه نظر عددی ساده است. فرم صریح و روشن می تواند برای بسیاری از موارد ساده به دست آید. عبارات عمومی برای مشکلات با ۲ و ۴ درجه آزادی، مربوط به معادلات دیفرانسیل درجه ۲m = 2 و ۲m = 4، به ترتیب، در زیر معرفی شده اند.

راه حل سیستم معادلات دیفرانسیل bj بیان کننده جابه جایی بر اساس ثابت انتگرال و یا ضرایب CJ  …

بیان بردار جابه جایی پایانی u بر اساس  یک ماتریس طیفی [T1] و بردار ثابت C ….

بیان بردار نیروی پایانی F بر اساس ماتریس طیفی [T2] و بردار ثابت C ….

رفع بردار ثابت C برای مربوط کردن جابجایی پایانی به نیروهای پایانی از طریق ماتریس سختی دینامیک…

شکل ۱٫ فلوچارت محاسبه نمادین ماتریس سختی دینامیکی دقیق

برای اعضای خطی با خواص مقطعی ثابت ، راه حل معادله همگن را می توان بر اساس  ثابت ۲m  انتگرال و توابع نمایی بیان کرد. جایگزینی این راه حل در معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم و چهارم به طور معمول منجر به معادلات مشخصه در قالب بترتیب معادلات (۱) و (۲)، میشود.

(۱)

(۲)

در مورد  درجه دوم، جابجایی پایانی را می توان بر اساس ثابت CJ و مشخصه ریشه RJ به  صورت زیر بیان کرد

(۳)

رابطه بین نیروهای پایانی و ثابت CJ را می توان به طور کلی به صورت زیر نوشت

(۴)

که در آن عبارات K ضریب سختی هستند. ماتریس سختی دینامیکی دو در دو [St] سپس می تواند با حذف ثابت CJ از معادلات (۳) و (۴) به صورت زیر بدست آید

(۵)

شایان ذکر است که وقتی b صفر باشد ماتریس سختی دینامیکی متقارن است ، یعنی  R1 + R2 = 0.

جابه جایی در یک نقطه اختیاری X می تواند با استفاده از تابع شکل دقیق (X)h در ارتباط با دو درجه آزادی گرهی محاسبه شود.توابع شکل دقیق برای جابجایی …  عبارتند از

(۶)

به طور مشابه، برای مورد درجه چهار ، جابجایی پایانی را می توان بر اساس ثابت CJ و مشخصه ریشه rj  به این صورت بیان کرد

(۷)

با …..

و یا معادل آن، با قرار دادن ….   . ماتریس [T1] وابسته به فرکانس را می توان در یک شکل کلی  به این صورت نوشت

(۸)

با Di تعریف شده به عنوان نسبت بزرگی بین دو نوع جابجایی مورد استفاده در یک معادله تعادل درجه چهار مرتبط با تئوری یک عضو داده شده است.

سپس، نیروهای پایانی را می توان بر اساس ثابت انتگرال CJ به صورت زیر بیان کرد

(۹)

ماتریس وابسته به فرکانس [T2] را می توان در یک شکل کلی به این صورت مرتب کرد

(۱۰)

با ki  و Ri  ثابت سختی مربوط به دو مجموعه از نیروهای اعضا.محاسبه ماتریس سختی دینامیکی [SF] را می توان از ضرب عددی دو ماتریس چهار در چهار [T2] و [T1] انجام داد

(۱۱)

فرمول صریح در ارتباط با معادله (۱۱) همچنین می تواند به صورت زیر بسط یابد

(۱۲)

…  یک ماتریس متقارن  است با ….

همانند مورد درجه دوم، جابه جایی در موقعیت دلخواه x  میتواند با استفاده از توابع شکل دقیق در ارتباط با درجه مربوطه از آزادی محاسبه می شود. مشتقات توابع شکل دقیق در رابطه با ماتریس سختی دینامیکی درجه چهار بالا در پیوست I. خلاصه شده است.

  1. ماتریس سختی دینامیکی برای اعضای محوری

۳-۱- تئوری ابتدایی

ابتدا یک عضو محوری با خواص مقطعی یکنواخت ، مدول الاستیسیته E، سطح مقطع A ، چگالی جرمی  ρ را در نظر بگیرید. معادله دیفرانسیل حاکم می تواند به این صورت بیان شود

(۱۳)

در حوزه فرکانس، معادلات حاکم در فرکانس خاصω می شود

(۱۴)

با ارائه اولیه مشتق فضایی. معادله مشخصه مربوطه پس از آن می تواند به صورت زیر بیان شود

(۱۵)

با دو ریشه ….

بر اساس فرمول سختی دینامیک نشان داده شده در بخش قبلی، ماتریس سختی دینامیکی بدست آمده  برای این عضو محوری ابتدایی را می توان نسبت به …. مشتق گرفت به صورت

(۱۶)

از نقطه نظر انتشار موج تئوری میله ابتدایی نمیتواند پدیده پراکندگی امواج طولی هدایت کننده را به تصویر بکشد.تئوری واقعی تر حداقل نیاز به در نظر گرفتن انقباض جانبی مقاطع دارد. ساده ترین اصلاح به اصطلاح تئوری میله لاو  است که در آن اثر در ارتباط با نسبت پواسون بدون افزایش تعداد درجه آزادی در هر گره به حساب می آید  . پدیده پراکندگی پیش بینی شده توسط تئوری لاو تنها در طیف وسیعی از فرکانس های نسبتا پایین معقول است. برای مواردی که نیاز به رفتار دقیق تر دینامیک فراتر از محدوده فرکانس پایین دارند، ممکن است بکارگیی تئوری دو حالته میندلین-هرمان لازم باشد که در آن یک درجه آزادی گره ای اضافی برای توصیف انقباض جانبی مورد استفاده قرار گرفته است.

۳-۲-  تئوری لاو

می توان نشان داد که معادله دیفرانسیل حوزه فرکانس مرتبط با نتایج تئوری لاو در فرمی شبیه به مورد ابتدایی با عبارت اینرسیایی اضافی از حرکت انقباض جانبی به صورت [۹]

(۱۷)

که در آن ν نسبت پواسون و IP  ممان اینرسی قطبی مقطع است. سپس نتیجه نهایی برای تئوری لاو ، به جز در مورد جایگزینی مدول یانگ E با مدول یانگ  موثر تازه تعریف شده Eeff برای هر فرکانس، به وضوح با نتایج مشتق شده برای یک مورد ابتدایی یکسان است.

۳٫۳  تئوری (دو حالته) میندلین-هرمان

در این تئوری دو حالته ، یک درجه آزادی اضافی برای نشان دادن انقباض جانبی در فرمول گنجانده شده است. پس از مشتق پیشنهاد شده توسط میندلین و هرمان [۱۳] با u و ψ نشان دهنده جابجایی محوری یکنواخت و کرنش انقباضی در فیبر بیرونی مقطع، دامنه فرکانس حاکم یر معادلات و شرایط مرزی در ارتباط با یک عنصر محوری با مقطع دایره ای یکنواخت می تواند بهصورت زیر نوشته شود

(۱۸)

با  λ و  µ ثابتهای الاستیسیته  لمب ، F و Q بترتیب نیروهای عضو، نیروی محوری و ممان انقباضی مربوطه. K و K1 ضرایب تعدیل تعریف شده برای مطابقت با فرکانس مشخصه خاصی از تئوری با تئوری دقیق سه بعدی می باشد. در مرجع [۱۳]، مقادیر دو پارامتر تنظیمی بر اساس تطبیق مقادیر محدود موج حالت اول و تنظیم یک نقطه مماس مشترک برای منحنی پراکندگی نسبت پواسون مختلف انتخاب شدند. فرمول پیشنهادی برای k و K1 عبارت بودند از

(۱۹)

معادلات دیفرانسیل حاکم را می توان دوباره با ترکیب معادلات (۱۸A) و (۱۸B) بر اساس  جابجایی محوری U به این صورت مرتب کرد

(۲۰)

با دو عبارت اینرسیایی در ارتباط با جهت محوری و قراردادی میشود

…. و …

معادله مشخصه را می توان به این صورت نوشت

(۲۱)

با…..

نتیجه نهایی میتواند در فرم نشان داده شده در معادله (۱۲) با نسبت بزرگی کرنش انقباض جانبی ψ به جابجایی محوریu به این صورت تعریف شود

(۲۲)

و دو ثابت طیفی تعریف شده برای [T2] ماتریس عبارتند از

(۲۲c)

  1. ماتریس سختی دینامیکی برای یک عضو در پیچش

۴-۱- تئوری ابتدایی

معادلات دیفرانسیلی حاکم بر عضوی با خواص یکنواخت مقطعی با مدول برشی G ، ممان اینرسی قطبی IP، چگالی ρ، و سختی پیچشی C، در معرض پیچش می تواند به صورت زیر نوشته شود

(۲۳)

با ممان چرخشی T و ضریب سختی پیچشی J وابسته به شکل و ابعاد مقطع.

با توجه به شباهت معادلات حاکم بین ارتعاشات محوری و پیچشی، ماتریس سختی دینامیک و توابع شکل برای ارتعاش پیچشی یک عضو یکنواخت را می توان با جایگذاری …. در معادلات (۵) و (۶) به دست آورد. ماتریس سختی دینامیکی به دست آمده عبارت است از

(۲۴)

با …..

  1. ماتریسهای سختی دینامیک برای اعضای خمشی

۵-۱-  تئوری ابتدایی (تیر برنولی)

ابتدا یک تیر یکنواخت با مدول یانگ E، سطح مقطع A ، ممان اینرسی I، چگالی ρ  را در نظر بگیرید. معادلات تعادل حاکم و شرایط مرزی برای جابجایی عرضی را می توان در حوزه فرکانس به صورت زیر نوشت

….

با …..

معادله مشخصه با ترکیب دو معادلات حاکم به صورت زیر به دست آمده است

(۲۵)

نتیجه نهایی برای ماتریس سختی دینامیکی را می توان از معادله (۱۲)  بدست آورد

که در آن معادله مشخصه می دهد

ماتریس سختی دینامیکی این تیر ابتدایی همچنین می تواند در فرم ساده به صورت زیر بیان شود

… ماتریس متقارن با …. است.

تئوری تیر برنولی هنگامی که با حالت های بالاتر از ارتعاش خمشی و همچنین تحلیل تیرها با مقطع عمیق سر و کار داریم نامناسب است. در چنین مواردی، اثرات ناشی از اینرسی چرخشی و تغییر شکل برشی سطح مقطع باید به حساب آورده شود.به تئوری های تیر مرتبط اغلب با عنوان تئوری تیر ریلی و تئوری تیر تیموشنکو به، اشاره میشود.

۵-۲- تئوری تیر ریلی

با در نظر گرفتن اینرسی چرخشی مقطع، معادلات دیفرانسیل حوزه فرکانس می تواند به صورت زیر بیان شود

در نتیجه معادله مشخصه مربوطه عبارت است از

هنگامی که از معادله (۱۲) برای به دست آوردن نتیجه نهایی ماتریس سختی دینامیکی استفاده میشود، تئوری ریلی منجر به یک ماتریس یکسان با تئوری برنولی میشود،  با تعریف ریشه مشخصهRi که به صورت زیر تغییر میکند

با …

همانند مورد تیر برنولی، ماتریس سختی دینامیکی در ارتباط با تئوری ریلی نیز می تواند در فرم ساده تر از شکل کلی نشان داده شده در معادله (۱۲) عنوان شودکه  در مرجع [۱۱] انجام شده است.

۵-۳- تئوری تیر تیموشنکو (دو حالته)

هنگامی که اثر ناشی از  تغییر شکل برشی نیز در فرمولاسیون شامل مدول برشی G و ضریب برشیК  گنجانده شود، درجه آزادی اضافی ، چرخش خمشی مقطع ф، معرفی میشود. پس از آن معادلات تعادل حوزه فرکانس و شرایط مرزی می تواند به صورت زیر نوشته شود

با ….

در نتیجه معادله مشخصه به دست آمده با استفاده از جابه جایی عرضی ν برابر است با

….

ماتریس سختی دینامیکی را می توان از معادله (۱۲) به دست آورد  با استفاده از

که در آن معادله مشخصه منجر میشود به

… با ….

۵-۴-  اثر نیروی محوری

در نهایت، یک عضو خطی با بارگذاری محوری در معرض بارهای جانبی در نظر گرفته شده است. معادلات دیفرانسیل حاکم در حوزه فرکانس را می توان به دست آورد همانطور که در مرجع [۱۸] نشان داده شده است به عنوان

(۲۵)

که در آن M، Y، V بترتیب نشان دهنده  لنگرخمشی، نیروهای عرضی و برش سطح مقطع  هستند. N مثبت نشان دهنده یک نیروی کششی است. سپس ترکیب این دو معادله و صرفنظر از عبارات مرتبه بالاتر،…و ….، در مقابل ۱ میدهد

(۲۶)

که منجر به معادله مشخصه

(۲۷)

با ….

(۲۸)

در نتیجه، ماتریس سختی دینامیکی همانند مورد تیر تیموشنکو که قبلا نشان داده شده است میباشد و  تنها در تعریف ثابتβ تغییر کرده است.

  1. ماتریس سختی دینامیک برای اعضا در پی الاستیک

وقتی که با تحلیل دینامیکی سازه شامل تعامل سازه خاک سرو کار داریم، یک مدل ساده برای شمع می تواند با استفاده از یک عضو در پی الاستیک، از نوع وینکلر، مشتق گرفته شود همانطور که توسط نواک [۱۴] پیشنهاد شده است. مطالعات دقیق بیشتر به درستی برای جفت شدن نیروها و جابجایی در خاک در طول شمع نشان داده است که تقریب وینکلر در واقع یک تقریب منطقی برای اکثر شمعهای معمولی است [۱۶]. در چنین مدلی، اثر تعامل شمع خاک را می توان به راحتی توسط محاسبه برای مقاومت خاک به عنوان یک کشش توزیع شده در سطح عضو در نظر گرفت. مقاومت خاک به طور معمول با استفاده از فرمول سختی دینامیک برای خاک به دست آمده از روش های مختلف [۱۴،۱۶] محاسبه می شود. بر اساس مفروضات این مدل ساده، فرمول سختی دینامیک برای عضو خطی در نظر گیرنده یک پی الاستیک نیز می تواند به شیوه ای ساده با استفاده از فرمول برای عضو قاب طبیعی ساخته شده در بخش های قبلی به دست آید.

۶-۱- موارد مرتبه دوم

در این مقاله، سه مورد مرتبه دوم با محوری ابتدایی و تئوریهای پیچشی و تئوری لاو مطابقت دارد. با استفاده از عضو محوری به عنوان یک مثال، در نظر گرفتن یک نیروی مقاومت توزیع شده …. و یک نیروی میرایی ویسکوز توزیع شده …. ناشی از فنریت و حفرات  خاک منجر به معادلات دیفرانسیلی حاکم در حوزه فرکانس به صورت زیر میشود

(۲۹)

در نتیجه، ماتریس سختی دینامیکی مربوطه در واقع یک فرم یکسان با فرم عضو قاب است به جز اینکه عبارت ریشه مشخصه RJ به صورت زیر تغییر کرده است

(۳۰ الف)

و یا، هنگامی که تئوری لاو  ، در یک شکل کلی تر، به صورت زیر در نظر گرفته شده است

(۳۰B)

به طور مشابه، برای عنصر پیچشی، در نظر گرفتن فنریت خاک kt و حفرات CT  منجر به ماتریس سختی دینامیکی یکسانی میشود که قبلا تنها با جایگزینی تعریف r به صورت زیر بیان شده بود

(۳۱)

۶-۲- موارد درجه چهارم

موارد درجه چهارم با عضو محوری در ارتباط با تئوری دو حالته و اعضای خمشی با ملاحظات مختلف مطابقت دارد. در این تئوری عضو درجه چهارم، توجه به نیروهای مقاومت توزیع شده ناشی از فنریت و حفرات خاک به سادگی در فرمولاسیون تغییرات زیر را انجام می دهد.

(۳۲)

که در آن … و … توابع سختی دینامیک برای اثر بازدارنده به ترتیب در جهت چرخش محوری، جانبی قراردادی ، عرضی، و خمشی ناشی از تعامل شمع خاک، می باشد.

  1. نتیجه گیری

در طول سالها، ثابت شده است که فرمول مستمر یک رویکرد کارآمد مورد استفاده برای به دست آوردن نتایج دقیق برای پاسخ دینامیکی سازه خطی است. مزیت عمده استفاده از فرمول مستمر دقیق آن است که  این فرمول  خواص توزیع شده را دقیقا به حساب می آورد و در نتیجه اندازه المان می تواند به بزرگی هندسه مجاز سازه باشد. با توجه به این واقعیت که تبدیل فوریه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی را در حوزه زمان به معادلات دیفرانسیل معمولی ساده تر یک بعدی در حوزه فرکانس تبدیل میکند، فرمول حوزه فرکانس (طیفی) روابط نسبتا ساده تر بین جابجایی و نیروها نسبت به روابطی که از فرمولاسیون دامنه زمان سنتی مشتق شده است، ارائه می دهد. در نتیجه، محاسبه سختی دینامیک و توابع شکل مربوطه را می توان کاملا به شیوه ای ساده با اجرای این روابط طیفی و معادلات ساختاری طیفی در برنامه های کامپیوتری به دست آورد.

ماتریس سختی دینامیکی ارائه شده در این کار به صورتی بیان شده که فرمول از ثابتهای طیفی خاص تشکیل شده است. بنابراین، این فرمول را می توان به موارد مرتبط با دیگر تئوری های عضو با همان تعداد درجه آزادی گره ، که به ترتیب ۱ یا ۲ درجه آزادی در هر گره در فرمولاسیون دوم و چهارم است، اعمال کرد. در واقع، محاسبه ماتریس سختی دینامیکی مستمر برای عضو مدل شده با هر تعداد درجه آزادی گره  را می توان به صورت عددی به طور مستقیم از ضرب ماتریسی دو ماتریس ثابت طیفی انجام داد. فرم صریح از ماتریس سختی دینامیکی را می توان با بسط عبارات بدست آورد، اما آنها برای آنکه توسط مدل های با تعداد زیادی از درجه آزادی گره به دست آیند، بیش از حد پیچیده  هستند.

در نظر گرفتن نتایج پی الاستیک در همان ماتریس سختی دینامیکی همانند آنهایی است  که برای حالت بدون پی الاستیک بدست آمده با این تفاوت که تعریف عبارات اینرسیایی خاص برای به حساب آوردن اثر بازدارنده در ارتباط با تعامل ساختار خاک، باید اصلاح شود. هنگامی که یک برنامه کامپیوتری بر اساس فرمولاسیون یک عضو قاب اجرا میشود، می تواند برای مطالعه رفتار دینامیکی شمع ها بدون کار اضافی بیش از حد نیز بکار برده شود.

ضمیمه یک-  بدست آوردن توابع شکل دقیق برای مورد مرتبه  چهار

پس از مشتق گیری نشان داده شده در بخش ۲ این مقاله، ثابت انتگرال CJ را می توان بر اساس جابجایی گرهی به صورت زیر بیان کرد،

که در آن

….

بنابراین، تابع جابجایی اول را می توان به صورت زیر به دست آورد

با تعریف …. به عنوان توابع شکل، تابع جابجایی می تواند به صورت زیر مرتب سازی شود

با …

به طور مشابه، تابع جابجایی دوم …. را می توان به صورت زیر بدست آورد

با توابع شکل دقیق

که

مراجع