ارزش گذاری منصفانه

انجام پایان نامه

ارزش گذاری منصفانه قراردادهای بیمه مشارکتی

آنتی جان تانسکانن        جانی لوکارینن

خلاصه

ارزش گذاری منصفانه قراردادهای بیمه، و موارد قرارداده شده در آن ها، یک مسئله مهم و کاملا شناخته نشده است. با ظهور استاندارد IAS قراردادهای بیمه، ارزش گذاری تهعدات بیمه عمر دستخوش تغییرات شدید شد. ما یک مدل ساده محاسباتی برای ارزش گذاری منصفانه قراردادهای بیمه عمر با پرداخت های معین و دلخواه را ارائه می دهیم. برخلاف روش های ارزش گذاری سنتی، مدل ما دارای چند جنبه ضروری از قراردادهای بیمه عمر، مانند ارزش های منصفانه نرخ تضمین ها و پرداخت های دلخواه را دارا می باشد. در این مدل، ارزش منصفانه قراردادهای بیمه عمر به عنوان معاملات آزاد قیمت در حضور بازارهای مایع برای تضمین های می باشد. این مدل،  علاوه بر نتایج عددی، راه حل هایی در فرم های بسته هم ارائه می دهد.انجام پایان نامه ارشد

مقدمه

حسابداری بیمه تجربه ای از یک تغییر اساسی از ارزش گذاری سنتی تعهدات بیمه ای به تعهدات ارزش گذاری منصفانه می باشد. ای امر به این دلیل رخ می دهد که یک طرف در جدول بالانس در بازار ارزش گذاری شده در حالی که سمت دیگر نشده. دلیل مهم دیگر در تاکید بر انجام حسابداری، نیاز برای فهم بهتر ریسک های مالی، مانند تضمین های نرخ بهره، و کلاً، ارزش گذاری المان های مختلف در قراردادهای بیمه می باشد. این امر حالا بسیار به جا می باشد، چون نرخ های بهره کم باعث تبدیل نرخ تضمین بهره ها را به یک مشکل مهم در قراردادها تبدیل کرده است. شرکت های بیمه متععدی، مانند تعاونی نیسان لایف، به خاطر سبم شماری موارد ذکر شده در قراردادهای بیمه شان تا اندازه ای درگیر مشکلات شده اند.انجام پایان نامه کارشناسی ارشد

برای فائق آمدن به این مشکل استاندارد IAS برای قراردادهای بیمه راهی اساسی برای ارزش گذاری ارائه داده است: تعهدات بیمه ای بایستی ارزش گذاری شوند اگر در تعداد زیاد توسط سرمایه گذاران به خوبی توجیه شده و مستقل در بازار نقدی انجام گردد. این امر را ارزش گذاری منصفانه می نامند، که صراحتا به عنوان مقدار سرمایه ای که می تواند تبادل یا به کار گرفته شود، شرکای راغب یک بازوی معامله هستند. استاندارد IASB 2001 را ببینید. مطابق با استاندارد IAS، تعهدات دارای گزینه های اختیاری، باید با برآورد تصادفی پول نقد در آینده و بهره تخفیف خورده بدون ریسک، که به صورت تضمین پرداخت ۳۰ ساله تفسیر می شود.

انجام پایان نامه

اگرچه انجمن بین المللی حسابداری IASB به نظر کمی از مسئله دور شده، ولی اهمیت فهم ارزش گذاری منصفانه کاهش نمی یابد، چون عامل اصلی برای ارزش گذاری مطمئن گزینه های قرارداد و تضمین های غیرمستقیم هنوز به قوت خود باقی است.

برای فهم بهتر چگونگی عملی شدن ارزش گذاری منصفانه، ما مدلی برای مشارکت ارزش گذاری در زندگی، با گسترش تحقیق گروسن و یورگنسن ۲۰۰۰، ساخته ایم، و با انجام راه حل تحلیلی برای ارزش منصفانه قرارداد، انجام داده ایم. برای مکانیسم سود ساده قطعی مدل ما نتایج تحلیلی بسیار خوبی ارائه می دهد، اما برای بیشتر سندهای سود بازنمایش پیوسته ای داریم که نتایج را فقط پس از اعتماد بر اعداد ارائه می دهد. بیش از این، فرموله کردن مدل باعث مشارکت ساده انواع مختلف مکانیزم های سوددهی می شود، و سپس به یک تقریب عملی تر و جامع تر برای فهم ارزش قراردادهای مشارکتی می انجامد. ما همچنین باید به طور خلاصه در نظر بگیریم که چگونه یک عبارت ساختار سود بی خطر را در مدل قرار دهیم.

به خوبی معلوم شده که مدل های اختیاری ارزش گذاری دارای جنبه های بیشتری از پروسه ارزش گذاری بازار می باشند. در نتیجه ما از آن ها برای نقطه آغاز استفاده می کنیم. ما این را مسلم می دانیم که یک بهای منصفانه بهای رایگان می باشد، در مدل های ارزش گذاری. ما فرض می گیریم که سندها ارزش دارند اگر بازاری نقدی برای قراردادها وجود داشته باشد.

  1. ۲. پیش زمینه قراردادهای بیمه عمر

قبل از این که سروقت مدل واقعی برویم، اجازه دهید مروری خلاصه مشخصه های اولیه قراردادها داشته باشیم. ارزش قرارداد واحد-متصل به صورت مستقیم به عملکرد سند دارایی (واحد) با مشارکت قرارداد بر میگردد. چنین قراردادهایی ممکن است شامل سررسید تضمین هایی باشند که به عنوان دادن یک حق به یک مقدار کمینه معین در انتهای دوره قرارداد داده شود. ارزش گذاری چنین قراردادهایی در مقاله اکرن و پرسون ۱۹۹۶ توضیح داده شده است.

در قراردادهای مشارکتی شخص بیمه گذارتا سود معینی از سند مشارکتی را بردارد. تقسیم سود مابین بیمه گذار، میزان ذخیره و …، توسط قانون سود مشخص شده است. قانون سود اغلب شامل تعدادی از تضمین های حفاظت سود سرمایه گذار از نوسانات بازارهای سرمایه می باشد. این نوع از قراردادها همچنین با عنوان قراردادهای همراه با سود هم شناخته می شوند.

قراردادها ممکن است همچنین به سرمایه گذار امکان انتخاب تعدادی مکانیزم سود را در حین دوره قرارداد بدهند. حق تعویض از یک مکانیزم به دیگری یک گزینه قرادادی است، و پرسیدن این که کدام بهتر است طبیعی می باشد. ما چنین مواردی را گزینه های اختیاری تعویض می نامیم.

قراردادهای بیمه را می توان اروپایی یا امریکایی نامید در دسته یکسانی با ادبیات دلخواه، در ضمن فهمیدن این که این عبارات به معنای واگذار کردن می باشند. ارامئه گزینه واگذار کردن در یک قرارداد به طور ساده به این معناست که سرمایه گذار می تواند قرارداد را قبل از شروع دوره کنسل کند. قرارداد دارای گزینه واگذاری قرارداد امریکایی نامیده می شود، و بدون این گزینه اروپایی نامیده می شود.

  1. ارزش گذاری قراردادهای مشارکتی

۳٫۱٫ قراردادها و دارایی ها

با توجه به مقاله گروسن و سورگنسن ۲۰۰۰، ما یک قرارداد بیمه عمر مشارکتی را امتحان کردیم، که درآن سرمایه گذار یک مقدار اولیه را در  سرمایه گذاری می کند. اگر سرمایه گذار برای T سال زندگی کند، سودی را که شامل اصل سرمایه است را دریافت می کند. اگر قبل از سررسید قرارداد بمیرد، سود مرگش پرداخت می شود، و قرارداد فسخ می شود.

اجازه دهید قرارداد را به عنوان یک ابزار خالص مالی تحلیل نماییم، و در ادامه چگونگی در نظر گرفتن خطر مرگ را در بخش ۶ توضیح خواهیم داد. مطالب پیرو تذکراتی برای پارمترهای مناسب قرارداد می باشد. T طول دوره قرارداد می باشد، I0 سرمایه اولیه است. A0 مقدار ریسک اولیه سرمایه است، P0 مقدار بازدهی اولیه است، PG پرداختی تضمین شده در سررسید و Rg سود تضمین شده سالانه است.

سرمایه گذار به میزان I0 سرمایه گذاری می کند. تنها بخش اولیه سرمایه گذاری، A0، سرمایه گذاری شده، و قرارداد به میزان P0 بازپرداخت دارد. برای نمونه، ، چون سرمایه اولیه شامل کارمزد و هزینه های انجام مختلف است. برحسب قوانین بازپرداخت، پرداخت اولیه ممکن است برابر با مقدار اولیه سرمایه باشد یا نباشد. در زمان سررسید، میزان پرداختی PT به طور کامل به سرمایه گذار پرداخت می شود. متغیرهایی که ارزش قرارداد را مشخص می کنند به صورت زیر هستند: At ارزش سرمایه مشارکتی در زمان t و Pt مقدار پرداختی در زمان t، با شرایط اولیه  می باشد. در کل، مقادیر At و Pt همزمان نیستند، حتی اگر . این مورد ضروری می باشد، وقتی قرارداد مشمول تضمین سودی باشد که باید اختصاص قسمتی از سرمایه  برای پرداخت شود انجام شود. اختلاف  بیانگر اضافه سرمایه در زمان t است، و ما آن را سود رزرو می نامیم، که می تواند منفی هم باشد.

ما این مورد را عملی ولی نمونه در نظر می گیریم، هروقت یک سال سپری شد، مقدار پرداختی شامل سود تضمین شده و سودهای ممکن می شود. انتخاب ما برای تعداد سال کاملا اختیاری می باشد، و هر انتخاب دیگری را هم می توان تحلیل نمود. مقدار دقیق سود سالانه بستگی به چگئنگی به کارگیری سرمایه دارد، و ما سودی را که در ابتدای قرارداد اعلام شده را در نظر می گیریم. که این مورد را در بخش ۳٫۲ به صورت جداگانه توضیح خواهیم داد.

همچنین قراردادهایی که می توان قبل از سررسید لغو کرد را بررسی می کنیم. برحسب لفظ کلی اگر قراردادی فقط در سررسید قابل لغو باشد، اروپایی نامیده می شود. با یک قرارداد مخلوط با امریکایی، می توان در هرزمان از سال بلافاصله پس از کسب سود قرارداد را لغو کرد، و نه در هر زمان دیگر. برای ساده سازی، ما فرض می کنیم که جریمه ای برای فسخ قرارداد وجود ندارد، که کل مبلغ پرداختی درزمان فسخ به سرمایه گذار بازپرداخت می شود.

انجام پایان نامه

۳٫۲ قوانین سوددهی

ما به قراردادهایی علاقه داریم که سود سالانه دارند که سودشان به تکامل بازار بستگی دارد. در عمل، ما بایستی در این جا قراردادهایی را بررسی کنیم که سود سالانه شان فقط به میزان طول دوره شان بستگی دارد، و سودشان حال حاضرشان، و مقدار سرمایه درحال حاضر و در زمان سود قبلی. در یک تذکر ریاضی وار، تکامل مقدار پرداختی، Pt، در طول سال ، از  از رابطه زیر به دست می آید:

تابع سود حقیقی Bv می تواند در هر سال v متفاوت باشد، اما ما آن را فقط وابسته به مقدار سرمایه Av، مقدار سرمایه سال قبل ، و مقدار پرداختی قبلی  در نظر می گیریم. به خصوص، ما خانواده ای از توابع سود  را در نظر می گیریم، مانند سهام بدون ریسک را با استفاده از Bv مختلف برای هر سال درنظر می گیریم.

ما همچنین فرض می کنیم که هر bv قطعی باشد، با این فرض که در زمان انعقاد قرارداد مشخص شده باشد، و این که تابعی ادامه دار می باشد. چون ما هرگز اجازه نمی دهیم قرارداد ارزشش را از دست بدهد، پس در نتیجه .

کامل ترین مثال این گونه قرارداد سود قراردادی است که حداقل سود سالانه rg را تضمین می کند، اما سود بالاتر R را درسال در صورتی که سرمایه گذاری موفق باشد ارائه می دهد. با فرض سود قطعی، این قراردادها را می توان با تنظیم کلیه توابع Bv برابر با

انجام داد. چنین قراردادهایی قبلا در مقالاتی شرح داده شده اند، برای مثال، جنسن و دیگران… ۲۰۰۱ و باسینلو ۲۰۰۱٫ مدل جنسن و دیگران…، قسمتی از سود به دست آمده به عنوان سود سرمایه را در نظر می گیرد، درزمانی که بخش دیگر به عنوان سود رزرو فرض شده در جایی که سود را در یک سال بد پرداخت کرد. مدل آن ها را نی توان با تابع زیر بیان نمود:

در این جا پارامترهای ارضا کننده  می باشند.

سود محاسبه شده توسط روش باسینلو توسط تابع زیر محاسبه می شود:

در این جا  . این سود از نوع پیوند- متصل می باشد، چون تنها به عملکرد سرمایه At در طول سال بستگی دارد و نه به مقدار سود پردختی قبلی.

قرارداد با تضمین حداقل سود پرداختی PG در سررسید را می توان با تابع B در معادله ۲ برای BV توضیح داد، وقتی ، و  تعریف شده باشد.

یک پیامد این انتخاب منصفانه سود این است که تکامل سود منصفانه در یک قرارداد امریکایی، که اجازه فسخ قرارداد را در هر زمان می دهد، به صورت زیادی مشکل می شود. اگرچه قرارداد سود بالا بهتر است در طول سال قطع نشود، ولی قاعده ای کلی نیست. فرض این که، قرارداد شامل هیچ سود تضمین شده نباشد، ارزش گذاری امکان فسخ قرارداد قطعا باعث کاهش در سودهای مجزا خواهد شد. ارزش گذاری چنین قراردادهایی مشکل سختی است، مقاله کاراتزاس و شرو ۱۹۹۸ را ببینید. در نتیجه، ما مطالعه موارد فسخ قرارداد را محدود می کنیم که تنها می توانند در طول سال های کامل مورد مطالعه قرار گیرند.

  1. مدل تصادفی

در این قسمت، ما مدلی تصادفی برای ارزش گذاری قراردادهای برپایه مقاله گروسن و یورگنسن ۲۰۰۰ و مقاله جنسن و بقیه ۲۰۰۱ ساخته ایم. در این جا ما مکانیزم عمومی تر سود را در بخش ۳٫۲ بررسی کرده ایم، و تقریب های تحلیلی متفاوتی مانند روش های برای حل این مدل استفاده کرده ایم. ما هدف داریم که قراردادی را که از نوع مشارکتی است و شامل گزینه فسخ هم هست با نرخ سود تضمین شده و یم تاریخ سررسید بازپرداخت را مدل سازی کنیم.

هدف اصلی اندازه گیری تعهد Vt قرارداد برحسب انواع تعریف شده در بخش ۳ می باشد. میزان تعهدVt  مقدار نامی فعلی قرارداد را در زمان t را اندازه می گیرد، با در نظرگرفتن مقدار واریز پول نقد در آینده، و باید آن را به عنوان مقدار منصفانه تعریف کنیم. درعمل، V0 بیانگر مقدار منصفانه قرارداد درزمان عقد قرارداد است.

تفاوت میان P و V ممکن است خیلی نباشد: Pt بیانگر میزان ارزش قوانین برای سرمایه گذار در زمان t است اگر سرمایه گذار گزینه های فسخ را امتحان کند. مقدار Vt بیانگر ارزش منصفانه قرارداد است، مقداری محاسبه شده که بیانگر مقدار پول نقد واریزی که امروز ارزش دارد می باشد. وقتی Pi در زمان t تعریف شود، تعهد پرداخت vt تخمینی است که به عنوان یک مقدار قابل انتظار پول نقد در آینده محاسبه شده است.

ما آن را مانند ؟؟؟؟؟.

مانند مدل بلک- اسکولز، قرارداد بیمه عمر مجانی به صورت مورد انتظار با توجه به اندازه گیری ریسک-محور محاسبه می شودريال مقاله موسیلا و روتوسکی ۱۹۹۷ را ببینید. اگرچه مشارکت قراردادهای بیمه عمر ساختار پیچیده تری نسبت به گزینه های ساده در بلک- اسکولزدارند، نتیجه آخر مدل سازی این است که ارزش گذاری قراردادهای مشارکتی با سود خیلی مشابه با گزینه های مطالعه شده در فروشگاه های با سود گسسته می باشد.

ما فرض می کنیم که بازار شامل قرارداد تجاری ما P و دو موقعیت سرمایه گذاری دیگر است: موقعیت بحث شده قبلی A و سهام بدون ریسک L. تکامل زمانی A و L را طبق معادلات احتمالی زیر محاسبه می کنیم:

به این معنی که A از حرکت هندسی معمول براونی تبعیت می کند. تکامل مقدار پرداختی Pt سپس به وسیله معادله ۱ تعیین می شود، و همان طور که بررسی کردیم تکامل بازار در بخش بعدی به دست میآید.

پارامترهای قسمت ۶ به صورت زیر هستند: r نرخ سود سهام بدون ریسک L است،  رشد متوسط A و  فراریت A است. هم نرخ سود و هم فراریت آن قابل اندازه گیری و ثابت فرض شده اند، اگرچه روش های ما با مورد غیرثابت تطابق می یابند ( بعدا در بخش ۵٫۱ درباره این موضوع بحث خواهیم کرد). همچنین ارزش دارد که r نرخ سود ادامه دار می باشد، در جایی که  سود سالانه است، و سپس  سود سالانه قابل مقایسه با rg می باشد. میزان فراریت  را باید به عنوان یک یک فراریت اعمال شده فرض نمود، مقاله موسیلا و روتکوسکی ۱۹۹۷ را ببینید.

۴٫۱ ارزش منصفانه یک قرارداد

ارزش منصفانه قرارداد در سررسید برابر با میزان پرداختش می باشد. ما یک وضعیت نهایی  داریم. چون ما فرض را بر این قراردادیم که قرارداد می تواند به صورت مجانی در بازار به فروش برسد، ارزش منصفانه اش در زمان های دیگر با اندازه گیری بی ضرری معامله بازار مجانی (L A P) تعیین می شود: با فیلتر بی ضرر ، مقدار منصفانه قرارداد اروپایی برای  با مقدار تصادفی زیر تعیین می شود:

در این جا  بیانگر مقدار مورد انتظار در اندازه گیری بی ضرر می باشد.

مقدار منصفانه در زمان t سپس به وسیله متغیرهایی که تکامل آینده pt را تعیین می کنند به صورت جداگانه محاسبه می شئند. برای قراردادهاییی که از نوع بخش ۳٫۲ هستند، کافی است که از سه مورد  استفاده شود. مانند تاریخ. ( t بیانگر بخش یکپارچه T می باشد. برای یک انتگرال n برای  می باشد. همچنین می توانیم برای همه  بنویسیم:

و از تابع    استفاده کنیم، که برای  و برای همه  تعریف شده است، و می توانند معادله ۸ را، یک تابع ارزش اروپایی، را ارضا کنند. توجه شود که اگر  و تنها مقدار  هربار در معادله ۸ در زمان پیوسته t استفاده شود.

مقدار منصفانه یک قرارداد امریکایی هم به صورت مشابه به دست می آید، با این انتظار که قرارداد ممکن است قبل از سررسید T فسخ شود،

دراین جا  کلاس وقفهای زمانی  با ارزش های  می باشد. برای جزییات بیشتر مقاله کاراتزاس و شریو ۱۹۹۸ را ببینید.

حل این مسئله ارزش گذاری مشکل است، که به همین دلیل ما مقاله مان را به مطالعه قراردادهای مخلوط شده امریکایی در بخش ۳ محدود کرده ایم. معادله ۹ هم اگرنیازبه زمان های وقفه  داشتیم هم در دسترس می باشد.

این یک معادله ارزش گذاری منصفانه برای قراردادهای امریکایی مخلوط شده می باشد.

توسعه قراردادهای امریکایی برای اجازه دادن به آزمودن گزینه فسخ قرارداد در هر زمان دلخواه می باشد، اگرچه روش ما را باید روشی منطقی برای چنین قراردادهای دانست.

۴٫۲ معادلاتی برای ارزش منصفانه

۴٫۲٫۱ قرارداد اروپایی

ما با در نظر گرفتن ارزش منصفانه قرارداد اروپایی در یک سال معین  شروع می کنیم. در طول وقفه زمانی . همانند بخش قبلی، V را تابع ارزش منصفانه اروپایی در نظر می گیریم، و تابع FV را برای همه  تعریف می کنیم، به وسیله

باید اول فرض کنیم که FV مشخص شده، و سپس یک معادله برای تابع ارزش  برای زمان های  به کار ببریم.

سپس توجه شود که مقادیر هردو قراردادهای اروپایی و امریکایی حتما باید به صورت توابع ادامه دار باقی بمانند، ، تقریبا در زمان ، و برعکس یک موقعیت معامله می باشد.

برای این منظور،  را هم مانند  در نظر می گیریم، و مفهوم AT را برای  در نظر می گیریم. سپس  و توالی زمان های  مانند  وجود دارد و همین طور  برای همه nها، یا  برای همه nها. در مورد اول، یکی می تواند با خرید قرارداد در زمان tn که به اندازه کافی به v نزدیک است معامله کند و سپس قرارداد را در t=v بفروشد. در مورد دوم، یکی در ابتدا را در tn مناسب میفروشد و سپس آن را در t=v دوباره می خرد. اصول معامله برپایه فرضیات ما که bv یک تابع ادامه دار از AT است و AT هم مسلما ادامه دار است، چون در مقدار PV و در مقدار VV  به صورت مجانبی در  می باشد.

درمورد اروپایی، تقریبا به یقین رسیدیم که

چون AT مسلما ادامه دار است و می تواند در هر t مقادیر مثبت بگیرد، سپس می بینیم که برای تقریبا همه  و تقریبا برای همه p ها در رنج ضروری  شرایط بدون تغییر زیر باید حفظ گردد:

سپس فرض می کنیم که مقدار تابع را برای زمان  می دانیم. سپس برای هر  ثابت، یافتن مقدار منصفانه در وقفه  دقیقا به مشکل مقدار بلک اسکولز کاهش یافته است. در نتیجه، از همان روش هم پیروی می کند که مقدار تابع v معادله بلک اسکولز را در این وقفه ارضا می کند. بیش از این، ما می دانیم که تابع  وجود دارد که دیفرانسیلی است و برای همه  معادله  ارضا می شود و می توان تابع مقدار منصفانه را برای زمان های  با تعریف  به صورت یه راه حل از معادلات بلک اسکولز به دست آورد، سپس تعریف  از زمان  که ما در این جا استفاده کردیم مستقل می شود.

گرفتن حد  در بالا و اعمال معادله ۱۳ دستورالعملی برای محاسبه مقدار منصفانه در هر  در زمانی که  است را ارائه میکند. درابتدا مقدار  قرار می دهیم. سپس معادله ۱۴ بلک اسکولز را حل می کنیم که شرایط مرزی زیر را دارد:

و  را تعریف می کنیم. با توجه به نتایج محاسبات ما، تابع را می توان یک تابع اروپایی مقدار منصفانه در این وقفه زمانی تعریف کرد.چون مقدار در سررسید معنی پیدا می کند، ما حالا یک الگوریتم برای حل مقدار منصفانه قرارداد اروپایی در اختیار داریم: که در زمان  با تابع برای همه آغاز می شود. سپس پروسه بالا را برای یافتن تابع مقدار منصفانه  انجام می دهیم و برای تعریف  از آن استفاده می کنیم. پروسه را تا وقتی که  محاسبه شود تکرار می کنیم. سپس مقدارمنصفانه قرارداد برابر با  می باشد.

۴٫۲٫۲ قرارداد مخلوط شده امریکایی

روش های مشابهی در این مورد می توان به کار برد. برای این منظور  قرار دهید و  در نظر بگیرید. سپس  و برای هر زمان وقفه      را مشخص می کنیم و به سادگی میبینیم که

این معادله مشخص می کند که اگر ما مقدار تابع مقدار v را در t=v بدانیم، می توانیم از روش های اروپایی برای حل آن در      استفاده کنیم.

بدون انجام اثبات ریاضی، میبینیم که توالی از توابع   تعریف شده برای  و  وجود دارد، مانند زمان وقفه زیر

که بهینه است، که بهترین حالت را در معادله ۹ نتیجه می دهد.

پس از آن پیشنهاد می کنیم که توابع  را می توان با تکرار پروسه زیر به دست آورد: شروع با تعریف  برای همه . سپس، برای هر  و هر ، راه حل  را محاسبه کنید تا به معادله ۱۴ بلک اسکولز برسید با شرایط مرزی نهایی ، و تابع بعدی  را با معادله زیر تعریف کنید

با زمان توقف بهینه بالا، همچنین می توانیم نتیجه بگیریم که تقریبا برای هر

و را ه حل قرارداد امریکایی از تابع  به دست می آید.

توجه کنید که زمان وقفه بالا فرموله کردن قانون زیراست: مالک قرارداد در  تصمیم به خارج مردن پول نقد خود می گیرد اگر مقدار منصفانه معادل قرارداد اروپایی برای حداقل یک سال باقی بماند،

۴٫۲٫۳ قرارداد دارای گزینه تغییر

اجازه دهید فرض کنیم که سرمایه گذاری در ابتدای هر سال بلافاصله پس از سودها انجام شده است، n معین سودهای متفاوتی  برای انتخاب دارد. روش تکرار ارائه شده در بالا همچنین به این مسئله هم با یک تغییر کوچک اعمال می گردد.

اگر  را تابع مقدار منصفانه در زمان v بدانیم، و هر  ای در نظر بگیریم.

برای مرحله تکرار قرارداد اروپایی با قابلیت تغییر، در ابتدا معادله بلک اسکولز را با شرایط مرزی  حل کنید:

و سپس تابع مرزی بعدی را به جای معادله ۱۵ تعریف کنید:

استدلال پشت روش بالا این است که عقل سرمایه گذار همیشه سود بیشتر را انتخاب می کند.

به همین ترتیب، برای قرارداد مخلوط شده امریکایی با قابلیت تغییر، درعوض معادله ۱۸، تابع مرزی بعدی را تعریف کنید، با معادله زیر

در این جا fk در پاراگراف قبلی تعریف شده است. فقط یک مقدار پرداختی را باید در معادله ۲۲ در نظر گرفت، چون انتخاب سود برای هر سال سود سال قبل را به دست می آورد.

  1. کحاسبه مقدار ارزش منصفانه

۵٫۱ راه حل تحلیلی

روش های استاندارد متعددی برای حل معادله ۱۴ بلک اسکولز وجود دارد، و تنها جز اضافی در این جا شرایط بدون پرش می باشد. در حقیقت، مسئله ارزش گذاری ما مشابه با معادله بلک اسکولز حل می گردد. درایم مورد، سودها پرداختی های قرارداد را کاهش نمی دهند.

مرحله کلیدی در پروسه تکراری که در بخش قبلی تعریف کردیم حل معادلات بلک اسکولز با یک شرایط نهایی مشخص بود. در این بخش، باید یک بیان انتگرالی از راه حل را برای تکرار پیشنهادی ارائه دهیم. باید از تابع  استفاده کنیم که دیفرانسیلی است و معادله ۱۴ را برای  ارضا می کند، که در زمان  ادامه دار باقی می ماند و شرایط نهایی مرزی  را با تابع مشخص  ارضا می کند.

ابتدا فرض کنید که  که چنین راه حلی را فرض کنید. با کمک پارامترهای کمکی  و ، تابع  را با فرمول زیر تعریف می کنیم،

سپس، برای همه ، در جایی که  و برای همه ، تابع g معادله را ارضا می کند،

این راه حل را می توان تبدیل کرد، با تغییر مناسب متغیرهای پیچیده. بدین ترتیب ما فهمیدیم که برای هر مقدار داده شده ای، تنظیم کافی شرایط مرزی f0، تابع f برای  و  انجام شود،

در فرمول تکراری ما، f0 را با شرایط معادله ۱۳ تعیین می کنیم. اعمال این شرط به معادله ۲۵ و انجام تغییری دیگر در متغیرهای داده شده ، مرحله تکرار را برای قرارداد اروپایی با تابع fv از سال v تا سال  انجام می دهیم.

در این جا G هدف توزیع نرمال استاندارد می باشد،

محاسبات مشابهی را می توان به مورد امریکایی اعمال کرد، و مرحله تکرار را برای آن از معادله ۱۸ به دست می آوریم، دوباره با ،

در حقیقت، فرمول بالا به این مورد اعمال می شود وقتی  وابستگی زمانی دارند. تنها تغییر مورد نیاز جایگزین r و  برای جمع کردن متوسط زمان ها می باشد، برای تغییر

در بالا می باشد. به هرحال، این عمومی سازی در مثال های پیرو نیاز نمی باشد، و بیش از این هم درباره شان بحث نمی کنیم.

۵٫۲٫عددی ها

ما راه حلی برای حل مسئله ارزش گذاری منصفانه برپایه پروسه تکرار ارائه کردیم، و بیانی انتگرالی برای پله تکرار بخش ۵٫۱ ارائه نمودیم. حال باید درباره تکامل پله تکرار در عمل بحث کنیم. جدا از برخی از مثال های ساده، یک راه حل تحلیلی انتگرال ها عموماً ممکن نیست. پله تکرار را مستقیما می توان به وسیله یکپارچه کردن معادله بلک اسکولز محاسبه کرد، اما بیان انتگرالی بالا باید کنترل بیشتری روی دقت تقریب داشته باشد.

ما برنامه مان را درسررسید با شرایط نهایی داده شده به شبکه آغاز می کنیم. همان طور که قبلاً نشان دادیم، مقادیر بیشتر تعهدات با تابع fv در مورد اروپایی محاسبه شده اند و fv همین طور در مورد امریکایی. در هردو مورد، پله کلیدی گم شده تکامل انتگرال زیر برای همه  می باشد،

در این جا ، G در بخش ۲۷ تعریف شده و تابع  شناخته شده فرض شده است. برای هر مقدار انتخاب شده a  وp تکامل را باید بتوان با دقت بالا انجام داد اما مشکل واقعی پیدا کردن یک تقریب به کل تابع می باشد.

ساده ترین روش، که در مثال بخش ۷ استفاده کرده ایم، بیان تابع  با محاسبه و طبقه بندی مقادیرش در یک شبکه به اندازه کافی گسسته میباشد، و سپس با میانیابی محاسبه مقادیر میباشد.

مقادیر معین fv متناسب می باشند، ما نیاز به انتخاب یک شبکه روی تابع تقریبی  داریم. این شبکه لزوما نباید همان شبکه تابع fv باشد. ساده ترین انتخاب یک شبکه مربعی شامل نقاط  با  و  است. تعریف  برای برخی مقادیر داده شده . در طول شبیه سازی ما نیاز به ذخیره تنها دو شبکه داریم، یکی برای مقادیر fv و دیگری برای .

ما نیاز به محاسبه انتگرال معادله ۳۰ در هر شبکه تقریبی تابع  داریم و باید این بخش را با استفاده از نتایج تقریب نتیجه گیری کنیم.

بیایید  را یک شبکه داده شده فرض کنیم و  بیانگر حداکثر مقدار  برای هر  ذخیره شده باشد. تقسیم وقفه زمانی  به M قطعه، برای همه  تعریف می شود.

ما باید از تقریب خطی برای برای تعیین این نقاط استفاده کنیم. از تقریب ۳۰ استفاده می کنیم،

در اینجا  تابع مشخصه تنظیم  و ثابت  برای همه  با رابطه زیر تعریف شده است،

بسته به مقدار bv، روش دیگری برای برون یابی  درمعادله ۳۲ مورد نیاز می باشد.

سپس توجه شود که تکمیل انتگرال ۳۰ را می توان کاهش داد.

مکه به راحتی میتوان با استفاده از ارور تابع پیدا شده دراستانداردترین شبکه استفاده کرد. برای تحقق این موضوع، درابتدا تقریب خطی ۳۲ را به معادله ۳۰ اعمال می کنیم، با استفاده از ویژگی های ، به دست آوردیم،

در این جا  را تعریف کرده ایم.

چون برای هر ، ، پس از جستجوی کوتاهی در عبارات و استفاده از فرمول

در این جا  را تعریف کرده ایم. برای تکامل عددی عبارت  در مجموع، همچنین به  توجه کرده ایم تا عملکرد محاسبات را بهبود بخشیم.

  1. بیمه عمر و امکان مرگ و میر

تاکنون ما فقط قراردادهای خالص مالی بدون امکان مرگ و میر را در نظر گرفتیم. حالا قصد مطالعه قراردادهای بیمه عمر واقعی تری را داریم، که به معنای درنظرگرفتن امکان مرگ و میر در مدل می باشد. ما فرض کردیم که، همان طور که درشبکه ریاضی بیمه متداول است، خطر مرگ متغیر می باشد. اگر سرمایه گذار برای T سال زنده باشد، سودی که شامل اصل سرمایه، سود تضمین شده، و سود های دیگر را دریافت خواهد کرد. اگر قبل از سررسید قرارداد بمیرد، فقط سود مرگ K پرداخت می شود و قرارداد منتفی می شود.

در مدل ما، تعهد قرارداد اروپایی پس از t سال با رابطه زیر بیان شده است،

در این جا V تعهد بدون امکان مرگ و میر است، x سن سرمایه گذار در زمان شروع قرارداد، و  احتمال  افراد در رسیدن به سن  سال می باشد. عبارت آخر A در سمت راست درصد نامی ارزش سود مرگ و میر هر نفر است.

  1. محاسبات نمونه

در این بخش، ما نتایج تعدادی از مثال هایی که حل کرده ایم را آورده ایم. تعریف و محاسبه ارزش منصفانه که در قسمت قبل توضیح دادیم، و در این جا این روش ها را به قرارداد مورد تحقیق جنسن و بقیه اعمال کرده ایم. تمامی مقادیر قراردادهای ارائه شده، مقادیر در ابتدای قراردادها می باشند. مقادیر منصفانه عددی در شبکه مربعی  ذخیره شده اند، و مربع دارای ۱۰۰*۱۰۰ نقطه در حداکثر تعداد می باشد. برای انتگرال گیری عددی از  استفاده کرده ایم.

جدول ۱- مقدار منصفانه قرارداد مشارکتی، بدون خطرات مرگ و میر

۷٫۱٫ قرارداد مشارکتی

ارزش منصفانه قرارداد اروپایی را می توان به دو بخش تقسیم کرد: سود بدون ریسک و سود اختیاری. مقدار سود بدون ریسک مقدار پرداختی تضمین شده می باشد. مقدار سود اختیاری در یک قرارداد اروپایی به عنوان مقداری منفی درنظرگرفته می شود، که مقدار سود تسلیمی مقدار سود منفی قرارداد امریکایی می باشد.

در محاسبات پیرو، سرمایه اولیه ۱۰۰۰۰ می باشد، فراریت  بوده و سود تضمین شده  می باشد. طول دوره قرارداد ۲۰ سال می باشد.

۷٫۱٫۱٫ قرارداد مشارکتی بدون مرگ و میر

در جدول ۱، ما مقدار ارزش منصفانه را برای انتخاب های مختلف سودهای بدون ریسک ادامه دار نشان دادیم. نتایج به دست آمده توسط شبیه سازی های قبلی تر با پارامترهای  و  در جدول می باشد.

وقتی سود بدون ریسک کم باشد، همه مقادیر قرارداد سود قطعی می شوند، درنتیجه مقادیر منصفانه قراردادهای اروپایی و امریکایی منطبق می شوند. وقتی سود بدون ریسک بالاتر است، مقدار سرمایه هم بیشتر خواهد بود، و ارزش منصفانه سود هم بیشتر خواهد شد. که در ارزش منصفانه قرارداد مخلوط شده امریکایی اثر می گذارد که در این مورد بزرگتر از مقدار منصفانه معادل با قرارداد اروپایی می باشد.

دلیل این امر این است که، سود بدون ریسک بالاتر، ارزش منصفانه سود کمتر قرارداد، با ریسک بیشتر در سود کمتر می باشد.

۷٫۱٫۲٫ قرارداد مشارکتی با مرگ و میر

برای در نظر گرفتن اثر مرگ و میر، سرمایه گذاری با سن ۴۰ سال مذکر را در نظر می گیریم. ما از جدول مرگ و میر ۲۰۰۱ استفاده می کنیم. با استفاده از سود مرگ و میر ۱۵۰۰۰، نتایج جدول ۲ را به دست آوردیم. مقادیر نشان داده شده برای قرارداد اروپاییمی باشند، با همان قوانین سوددهی که در بخش قبل وجود داشت.

جدول ۲- مقدار منصفانه قرارداد مشارکتی، به انضمام اثر مرگ و میر

این بار قرارداد در ابتدا به دو قسمت تقسیم شده: تدارک برای زندگی و مرگ. تدارک برای زندگی به سود بدون ریسک و سود اختیاری تقسیم شده است. مقدار سود بدون ریسک به صورت  محاسبه شده، در این جا  احتمالی است که یک فرد ۴۰ ساله تا سن ۶۰ سالگی زنده بماند.

هیچ اهمیتی ندارد که قرارداد با مرگ و میر همانند قرارداد بدون مرگ و میر نیست. تاثیر سود مرگ و میر در این جا ساختار قرارداد را تغییر می دهد، در نتیجه مقادیر جدول ۱ و ۲ به صورت مستقیم قابل مقایسه نیستند.

جدول ۲ رفتار مشابهی با جدول ۱ دارد: مقدار منصفانه سود بدون ریسک با افزایش سود بدون ریسک کاهش می یابد، و همانند قبل، مقدار سود اختیاری برای سود بدون ریسک بالاتر می باشد. به صورت خلاصه، اگرچه قرارداد از سایر مطالعات بخش های قبلی متفاوت است، رفتار کلی کاملا مشابه میباشد.

۷٫۲٫ قرارداد با امکان تغییر

ما در ادامه قراردادهایی را مطالعه می کنیم که امکان تغییر دارند. المان اضافی در این جا حق انتخاب سرمایه گذار برای انتخاب، بدون هزینه اضافی می باشد. تحت این شرایط، یک سرمایه گذار عاقل همیشه در اول سال سهامش را عوض می کند. مقدار اختیار تغییر به مقدار کل قرارداد می باشد. مقادیر دیگر گزینه ها، مانند بقیه گزینه ها، مانند بخش قبلی می باشد.

طول مدت قرارداد ۲۰ سال می باشد، و شامل حق تغییر بین دو سهام را دارا می باشد. سهام ۱ تضمین سود ۲٫۵% سالانه و فراریت ۳۰% دارد، و از قوانین سود با نقادیر  و  می باشد. سهام ۲ سود تضمی نشده ۴% دارد ، فراریت ۱۰% و دارای  و  می باشد. سهام ۱ ریسکی تر از سهام ۲ می باشد، که دارای سود قطعی بیشتری می باشد. مقدار سود بدون ریسک  می باشد، که مقدار سود تضمین شده بیشتر به عنوان سود مرجع درنظر گرفته شده است.

صرفنظر از اثر مر گ و میر، نتایج جدول ۳ را به دست آوردیم. از قرار معلوم، حق تغییر ارزش بالایی دارد. وقتی سود بدون خطر کم است، امکان تغییر ارزش بیشتری دارد چون هیچ سهامی برای همه مسیرها بهینه نیست. وقتی سود بدون ریسک بالا باشد، سودهای بیشتر از سهام ۱ سودی بیشتر از مقدار تضمین شده در سهام ۲ را به دست می دهد، اما حق تغییر هنوز هم ارزش قابل توجهی دارد.

جدول ۳- ارزش منصفانه قرارداد مشارکتی، بدون اثر مرگ و میر، اما با حق تغییر بین سهام های مختلف

تشریح مطلب

روش سنتی حسابداری سندهای بیمه خیلی با روش ارائه شده در این جا تفاوت دارد. به طور سنتی، المان های دارای اختیار قرارداده شده در قراردادهای بیمه به عنوان گزینه های تخفیفی در نظر گرفته می شوند، بدون تخمین دقیق مقدار هر گزینه . برای افزایش فهم بهتر از ریسک های مالی قراردادهای بیمه، یکی بایدارزش دقیق آن را مشخص کند.

ما مدلی برای تخمین ارزش منصفانه مسیر محور، قراردادهای بیمه عمر مشارکتی المان های اختیاری قرارداده شده در آن ها، با فرض این که سندها ارزش دارند. مدل نمایشی تحلیلی برای قراردادهای با دوره بسیار کوتاه ارائه میدهد، و روشی تکرارمحور برای تکمیل قراردادهای بلند مدت ارائه می دهد. همان طور که توابع سود می توانند به صورت رایگان انتخاب شوند، مدل ما هم با شرایط مختلف هماهنگ می شود. در حال حاضر، ما می توانیم از آن برای تحلیل نیاز های ارزش گذاری منصفانه قراردادها استفاده کنیم.

با استفاده از اعداد، مدل ما مقادیر روشنی را در قراردادهای مختلف ارائه می دهد. رفتار عددی مدل هم خوب است، اگرچه باور نداریم که فرآیند عددی که ما استفاده کرده ایم بهینه می باشد. یک بهبود برای این روش می تواند استفاده از مقیاس لگاریتمی در عوض خطی می باشد.

تا جایی که می دانیم، این مدل قبلا در جایی استفاده نشده، با این که مشخصات قابل توجهی دارد. این مدل راه را هموار ساخته و برای مدل های مختلف راه حل هایی دارد.

منابع